题目

LeetCode.931.下降路径最小和（中等）

给你一个 n x n 的方形整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径的最小和。

下降路径可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

题解

最值问题考虑动态规划，拆分大问题为子问题+有限步骤。

下降路径在第一行任何元素都能开始。

针对第一行某个元素，要选取左下方、正下方、右下方三条向下路径中和最小的路径的和，再加上当前元素的值，就是当前元素开始的下降路径的最小和。
第二行每个元素的和最小的下降路径求法一样，直到最后一行。

第一行每个元素的下降路径最小和都逐个求出后，选取一个最小的。

状态转移方程

设dp[r][c]是第r行第c列下降路径最小和。
dp[r][c] = matrix[r][c] + minOf(dp[r + 1, c - 1], dp[r + 1, c], dp[r + 1, c + 1])

边界处理

最后一行，没有下面一行了
dp[r][c] = matrix[r][c]
第一列，只能读取下方和右下方元素。
dp[r][c] = minOf(dp[r + 1, c], dp[r + 1, c + 1])
最后一列，只能读取下方和左下方元素。
dp[r][c] = minOf(dp[r + 1, c - 1], dp[r + 1, c])

递推顺序

从下往上

class Solution {
    fun minFallingPathSum(matrix: Array<IntArray>): Int {
        val rows = matrix.size 
        if (rows == 0) return 0
        val columns = matrix[0].size
        if (columns == 0) return 0
        
        val dp = Array(rows) { IntArray(columns) { 0 } }
        for (c in 0 until columns) {
            dp[rows - 1][c] = matrix[rows - 1][c]
        }
        for (r in rows - 2 downTo 0) {
            for (c in 0 until columns) {
                dp[r][c] = matrix[r][c] + 
                // 第一列
                if (c == 0) minOf(dp[r + 1][c], dp[r + 1][c + 1])
                // 最后一列
                else if (c == columns - 1) minOf(dp[r + 1][c], dp[r + 1][c - 1])
                // 中间列
                else minOf(dp[r + 1][c], dp[r + 1][c - 1], dp[r + 1][c + 1])
            }
        }
        var minSum = Int.MAX_VALUE
        for (c in 0 until columns) {
            minSum = minOf(minSum, dp[0][c])
        }
        return minSum
    }
}

空间优化

因为是逐行递推的，所以可以用原数组存储，不用额外开辟二维数组。

class Solution {
    fun minFallingPathSum(matrix: Array<IntArray>): Int {
        val rows = matrix.size 
        if (rows == 0) return 0
        val columns = matrix[0].size
        if (columns == 0) return 0
        
        for (r in rows - 2 downTo 0) {
            for (c in 0 until columns) {
                matrix[r][c] += 
                // 第一列
                if (c == 0) minOf(matrix[r + 1][c], matrix[r + 1][c + 1])
                // 最后一列
                else if (c == columns - 1) minOf(matrix[r + 1][c], matrix[r + 1][c - 1])
                // 中间列
                else minOf(matrix[r + 1][c], matrix[r + 1][c - 1], matrix[r + 1][c + 1])
            }
        }
        var minSum = Int.MAX_VALUE
        for (c in 0 until columns) {
            minSum = minOf(minSum, matrix[0][c])
        }
        return minSum
    }
}